Nederlandse Wiskunde Olympiade - Opgaven 1999

NEDERLANDSE

WISKUNDE

OLYMPIADE



Tweede ronde
10 september 1999

  1. Een functie f heeft de volgende twee eigenschappen:
    • f(n) = 1 of f(n) = -1 voor elk geheel getal n,
    • f(m × n) = f(m) × f(n) voor alle gehele getallen m en n.

    Laat zien dat er een getal a bestaat, 1 a 12, met f(a) = 1 en f(a+1) = 1.


  2. Van een vierkant bestaande uit 81 eenheidsvierkanten worden sommige vierkanten zwart gekleurd en andere vierkanten wit en wel zó, dat van elke rechthoek die uit 6 eenheidsvierkanten bestaat van de vorm 2 × 3 of 3 × 2 er twee vierkanten zwart zijn en vier wit.

    Hoeveel zwarte vierkanten bevat het gehele vierkant? Beredeneer dat er geen enkel ander antwoord mogelijk is.


  3. Gegeven zijn een vierkant ABCD en een lijn l. Het punt M is het snijpunt van de diagonalen van het vierkant. De lengte van elk van de diagonalen van het vierkant is 2 en de afstand van M tot de lijn l is groter dan 1. De hoekpunten A, B, C, D worden op l geprojecteerd. De projecties zijn respectievelijk A', B', C', D'. Het vierkant wordt gedraaid om M, waarbij de punten A, B, C, D meedraaien en hun projecties A', B', C', D' op l meebewegen.

    Bewijs dat de waarde van A'A2 + B'B2 + C'C2 + D'D2 tijdens het draaien niet verandert.


  4. Een 8 x 8-matrix is een getallenschema met 64 getallen ingedeeld in 8 horizontale rijen en 8 verticale kolommen.
    De getallen in de matrix mogen gewijzigd worden volgens de volgende twee spelregels:
    • Alle getallen in een rij worden verdubbeld.
    • Alle getallen in een kolom worden met 1 verminderd.

    Bewijs dat elke 8 x 8-matrix die alleen gehele getallen groter dan 0 bevat met bovenstaande spelregels te veranderen is in een matrix die alleen nullen bevat.


  5. Bij een niet-negatief geheel getal c wordt de rij a1, a2, a3, ... gedefinieerd door:
    an = n2 + c voor n = 1, 2, 3, ...
    Bij deze rij a1, a2, a3, ... definiëren we een rij d1, d2, d3, ... door:
    dn is de grootste gemeenschappelijke deler van an en an+1.

    Voorbeeld met c = 2:
    a1 = 3, a2 = 6, a3 = 11, a4 = 18, a5 = 27, a6 = 38, a7 = 51, ...
    d1 = 3, d2 = 1, d3 =1, d4 = 9, d5 = 1, d6= 1, ...

    a.
    Neem c = 0 en laat zien dat dn = 1 voor n = 1, 2, 3, ...

    b.
    Neem c = 1 en laat zien dat dn = 1 of dn = 5 voor n = 1, 2, 3, ...

    c.
    Algemeen: laat zien dat bij elke c de grootste waarde die voorkomt in de rij d1, d2, d3, ... gelijk is aan 4c + 1.


Naar de oplossingen

Terug naar startpagina