1 1 1 9 - + - + - --------- x y z x + y + z
x y 2 x y ( - - - ) 0 => - + - 2 y x y xEvenzo
y z z x - + - 2 en - + - 2 z y x zUit deze drie ongelijkheden volgt:
1 1 1 x y y z z x (x + y + z)(- + - + -) = - + - + - + - + - + - + 3 x y z y x z y x z 2 + 2 + 2 + 3 = 9 9 = (x + y + z) --------- x + y + zLinker- en rechterlid delen door x + y + z voltooit het bewijs.
2 3 - t t ----- = ----- = - 3 - t 2 - u uofwel
(3 - t)2 = 4 - 2u en 2u = 3t - t2,zodat
(3 - t)2 + (3 - t)t = 4dus P0P1 = t = 5/3.
4 f(f(0)) - 2 f(0) = 0, 4 f(a) - 2 a = 0, f(a) = ½ aVoor x = a geldt:
4 f(f(a)) - 2 f(a) - 3 a = 0, 4 f(½ a) - 4 a = 0, f(½ a) = aVoor x = ½ a geldt:
3 7 4 f(f(½ a)) - 2 f(½ a) - - a = 0, 4 f(a) - - a = 0, a = 0 2 2Dus f(0) = 0.
4 f(f(b)) - 2 f(b) - 3 b = 0, 4 f(0) - 0 - 3 b = 0, b = 0
f(x) = (¼ + ¼ 13) x is een voorbeeld van een functie die voldoet aan het gestelde.
a + b + c = 3, a2 + b2 + c2 = 9, a3 + b3 + c3 = 24Met behulp van (1), (2) en (3) vinden we:(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 9 = 9 + 2ab + 2ac + 2b (1) ab + ac + bc = 0
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc 27 = 24 + 6abc + 3a(b2+c2) + 3b(a2+c2) + 3c(a2+b2) 1 = 2abc + a(9-a2) + b(9-b2) + c(9-c2) 1 = 2abc + 9(a+b+c) - (a3+b3+c3) 1 = 2abc + 27 - 24 (2) abc = -1 (a3+b3+c3)(a+b+c) = a4 + b4 + c4 + a3b + ab3 + a3c + ac3 + b3c + bc3 = a4 + b4 + c4 + ab(a2+b2) + ac(a2+c2) + bc(b2+c2) = a4 + b4 + c4 + ab(9-c2) + ac(9-b2) + bc(9-a2) (3) = a4 + b4 + c4 + 9(ab+ac+bc) - abc(a+b+c)
a4 + b4 + c4 = (a3+b3+c3)(a+b+c) - 9(ab+ac+bc) + abc(a+b+c) = 24 × 3 - 9 × 0 + -1 × 3 = 69