1. Bij elk positief geheel getal n definiëren we f(n) als het product van de som van de cijfers van n met n zelf.
   Voorbeelden: f(19) = (1 + 9) × 19 = 190 ,    f(97) = (9 + 7) × 97 = 1552.

   Toon aan dat er geen getal n bestaat met f(n) = 19091997.

   ---

   

2. Binnen een driehoek ABC snijden de lijnen AD, BE en CF elkaar in S.
   Gegeven is dat AS:DS = 3:2 en BS:ES = 4:3.
   Bepaal de verhouding CS:FS.
   

   ---

3. a.

   Bekijk de tweedegraadsvergelijking  x² + ? x + ? = 0
   Twee spelers zetten achtereenvolgens elk op de plaats van een vraagteken een geheel getal.
   Toon aan dat de tweede speler er altijd voor kan zorgen dat de vergelijking twee gehele oplossingen krijgt.

   Nota bene: we zeggen dat de vergelijking ook twee gehele oplossingen heeft, en wel twee gelijke (allebei gelijk aan 3).

   b.

   Bekijk de derdegraadsvergelijking  x³ + ? x² + ? x + ? = 0
   Drie spelers zetten achtereenvolgens elk op de plaats van een vraagteken een geheel getal. De vergelijking blijkt drie gehele (waarbij weer eventueel gelijke) oplossingen te hebben. Gegeven is dat twee spelers elk een 3 op de plaats van een vraagteken gezet hebben.
   Welk getal heeft de derde speler gezet? Bepaal dat getal en de plaats waar het gezet is en bewijs dat er maar één getal mogelijk is.

   ---

4. We bekijken een octaëder, een regelmatig achtvlak, waarvan één van de zijvlakken rood is geverfd en de zeven andere zijvlakken blauw. We werpen de octaëder als een dobbelsteen. Het vlak dat boven komt wordt geverfd: als het rood is wordt het blauw geverfd en als het blauw is wordt het rood geverfd. Vervolgens werpen we de octaëder nog eens en verven het weer volgens de bovenstaande regel. In totaal werpen we de octaëder 10 keer.
   Hoeveel verschillende octaëders kunnen we krijgen na afloop van de 10e keer verven?
   (Twee octaëders zijn verschillend als ze niet door draaiing in elkaar zijn over te voeren.)

   ---

5. Gegeven is een driehoek ABC en een punt K binnen de driehoek. Het punt K wordt gespiegeld in de zijden van de driehoek: P, Q en R zijn de gespiegelden van K in respectievelijk AB, BC en CA. M is het middelpunt van de cirkel door de hoekpunten van driehoek PQR. M wordt weer gespiegeld in de zijden van driehoek ABC: P', Q' en R' zijn de gespiegelden van M in respectievelijk AB, BC en CA.

   a.

   Bewijs dat K het middelpunt van de cirkel door de hoekpunten van driehoek P'Q'R' is.

   b.

   Waar moet je K kiezen binnen driehoek ABC zodat M en K samenvallen? Bewijs je antwoord.

Terug naar startpagina