Nederlandse Wiskunde Olympiade - Opgaven 1995

NEDERLANDSE

WISKUNDE

OLYMPIADE



Tweede ronde
15 september 1995

  1. Een kangoeroe springt van roosterpunt naar roosterpunt in het (x,y)-vlak. Zij kan maar twee soorten sprongen maken.
    sprong A: hierbij springt ze 1 naar rechts (in de positieve x-richting) en 3 omhoog (in de positieve y-richting).
    sprong B: hierbij springt ze 2 naar links en 4 omlaag.

    a.
    De startpositie van de kangoeroe is de oorsprong (0,0). Toon aan dat de kangoeroe naar het punt (19,95) kan springen en bereken het aantal sprongen dat ze daarvoor nodig heeft.

    b.
    De startpositie is nu het punt (1,0). Toon aan dat ze het punt (19,95) nooit kan bereiken.

    c.
    De startpositie van de kangoeroe is weer de oorsprong (0,0). Naar welke punten (m,n) met m, n 0 kan de kangoeroe springen en naar welke kan zij dat niet?


  2. Op een lijnstuk AB wordt een punt P gekozen. Op AP en PB worden gelijkbenige rechthoekige driehoeken (geodriehoeken) AQP en PRB geconstrueerd met Q en R aan dezelfde zijde van AB. M is het midden van QR.
    Bepaal de verzameling van de punten M als P het lijnstuk AB doorloopt.


  3. Je hebt 101 knikkers, genummerd van 1 tot 101. De knikkers zijn verdeeld over twee bakken A en B. De knikker met nummer 40 zit in bak A. Je pakt deze knikker uit bak A en gooit hem in bak B. Hierdoor stijgt de waarde van het gemiddelde van alle nummers in A met ¼. Ook de waarde van het gemiddelde van alle nummers in bak B stijgt hierdoor met ¼.
    Hoeveel knikkers zaten er oorspronkelijk in bak A?


  4. Een aantal bollen, allemaal straal 1, wordt in de vorm van een vierzijdige piramide op elkaar gestapeld. Om te beginnen een vierkant van n × n bollen als basis, daarop een laag van (n-1) × (n-1) bollen, en zo verder tot en met de bovenste laag die uit 1 bol bestaat.
    Wat is de hoogte van deze stapeling?


  5. We beschouwen de rijtjes ( a1, a2, ..., a13 ) van 13 gehele getallen. Zo'n rijtje heet ''tam'' indien voor iedere i {1, 2, ...,13} geldt: als je ai uit het rijtje weglaat kun je de resterende twaalf getallen verdelen in twee groepjes zodanig dat de som van de getallen in beide groepjes hetzelfde is.

    a.
    Geef een voorbeeld van een tam rijtje waarvan niet alle getallen gelijk zijn. Laat zien dat dit rijtje inderdaad tam is!

    b.
    Bewijs dat ieder tam rijtje geheel uit even f geheel uit oneven getallen bestaat.

    Een tam rijtje heet ''turbo tam'' als je de resterende twaalf getallen telkens kunt verdelen in twee groepjes van ieder zes getallen met dezelfde som.

    c.
    Bewijs dat in ieder turbo tam rijtje alle getallen gelijk zijn.


Naar de oplossingen

Terug naar startpagina