1. Bewijs dat voor elk drietal positieve reële getallen a, b en c geldt:

     1       1       1    9      1
   ----- + ----- + -----  - * -------
   (a+b)   (b+c)   (c+a)  2   (a+b+c)
   

   ---

   

2. Gegeven zijn een hoek A = met 0 < < en het punt P₀ op een van de benen van de hoek met AP₀ = 2. Op het andere been van de hoek wordt een punt P₁ gekozen. Voor zover mogelijk worden nu de punten P₁, P₂, P₃, P₄, ... getekend steeds zo dat P_n ligt tussen A en P_n-2 en  P_nP_n-1P_n-2 gelijkbenig is met top P_n (dus P_n P_n-1 = P_n P_n-2 voor n 2).
   Zie tekening waarbij de rij afbreekt na P₇.

   a.

   Bewijs dat er bij elke waarde van precies één punt P₁ gekozen kan worden zodanig dat de rij P₁, P₂, P₃, ..., P_n, ... niet afbreekt.

   b.

   Gegeven is dat de rij P₁, P₂, P₃, ..., P_n, ... niet afbreekt en dat de lengte van het gebroken (zigzag) lijnstuk P₀ P₁ P₂ P₃ ... P_k tot 5 nadert als k naar oneindig gaat.
   Bereken de lengte van P₀ P₁.

   ---

3. f is een reële functie. Voor elke x geldt:

   4 f(f(x)) - 2 f(x) - 3 x = 0
   

   Bewijs dat f alleen bij x = 0 de waarde 0 aanneemt.

   ---

4. Van drie reële getallen a, b, en c is gegeven:

     a + b + c = 3,   a2 + b2 + c2 = 9,   a3 + b3 + c3 = 24
   

   Bereken a⁴ + b⁴ + c⁴.

   ---

   

5. Gegeven is een scherphoekige driehoek ABC met hoogtepunt H.
   M is het middelpunt en R de lengte van de straal van de omgeschreven cirkel; notatie cirkel(M,R).
   Cirkel(A,R) en cirkel(B,R) snijden elkaar in de punten M en F,
   cirkel(A,R) en cirkel(C,R) snijden elkaar in de punten M en E,
   cirkel(B,R) en cirkel(C,R) snijden elkaar in de punten M en D.

   Bewijs:

   a.

   De punten D, E en F liggen op cirkel(H,R).

   b.

   De oppervlakte van het gebied dat bestaat uit cirkel(H,R) zonder de drie gebieden die gevormd worden door de bogen MD, ME en MF (zie het gearceerde deel in de figuur) is gelijk aan tweemaal de oppervlakte van  ABC.

   
   

Terug naar startpagina