Nederlandse Wiskunde Olympiade - Opgaven 1991

NEDERLANDSE

WISKUNDE

OLYMPIADE



Tweede ronde
6 september 1991

  1. Bewijs dat voor elk drietal positieve reŽle getallen a, b en c geldt:
      1       1       1    9      1
    ----- + ----- + -----  - * -------
    (a+b)   (b+c)   (c+a)  2   (a+b+c)
    


  2. Gegeven zijn een hoek A = met 0 < < en het punt P0 op een van de benen van de hoek met AP0 = 2. Op het andere been van de hoek wordt een punt P1 gekozen. Voor zover mogelijk worden nu de punten P1, P2, P3, P4, ... getekend steeds zo dat Pn ligt tussen A en Pn-2 en  PnPn-1Pn-2 gelijkbenig is met top Pn (dus Pn Pn-1 = Pn Pn-2 voor n 2).
    Zie tekening waarbij de rij afbreekt na P7.

    a.
    Bewijs dat er bij elke waarde van precies ťťn punt P1 gekozen kan worden zodanig dat de rij P1, P2, P3, ..., Pn, ... niet afbreekt.

    b.
    Gegeven is dat de rij P1, P2, P3, ..., Pn, ... niet afbreekt en dat de lengte van het gebroken (zigzag) lijnstuk P0 P1 P2 P3 ... Pk tot 5 nadert als k naar oneindig gaat.
    Bereken de lengte van P0 P1.


  3. f is een reŽle functie. Voor elke x geldt:
    4 f(f(x)) - 2 f(x) - 3 x = 0
    
    Bewijs dat f alleen bij x = 0 de waarde 0 aanneemt.


  4. Van drie reŽle getallen a, b, en c is gegeven:
      a + b + c = 3,   a2 + b2 + c2 = 9,   a3 + b3 + c3 = 24
    
    Bereken a4 + b4 + c4.


  5. Gegeven is een scherphoekige driehoek ABC met hoogtepunt H.
    M is het middelpunt en R de lengte van de straal van de omgeschreven cirkel; notatie cirkel(M,R).
    Cirkel(A,R) en cirkel(B,R) snijden elkaar in de punten M en F,
    cirkel(A,R) en cirkel(C,R) snijden elkaar in de punten M en E,
    cirkel(B,R) en cirkel(C,R) snijden elkaar in de punten M en D.

    Bewijs:

    a.
    De punten D, E en F liggen op cirkel(H,R).

    b.
    De oppervlakte van het gebied dat bestaat uit cirkel(H,R) zonder de drie gebieden die gevormd worden door de bogen MD, ME en MF (zie het gearceerde deel in de figuur) is gelijk aan tweemaal de oppervlakte van  ABC.


Naar de oplossingen

Terug naar startpagina